3.3 导数的估值

1．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上具有二阶导数，且对一切 $\displaystyle x \in[0, a]$ ，均有 $\displaystyle |f(x)|<1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<1$ ．证明：对一切 $\displaystyle x \in[0, a]$ ，成立 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{a}{2}+\frac{2}{a}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ 。求证：在 $\displaystyle [0,2]$ 上 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二次可微，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant M,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant K$ ，其中 $\displaystyle M, K$ 为正常数，$\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle (0,1)$内任一点．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant 2 M+\frac{K}{2}$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 二次可微，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant a,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant b$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为正常数，$\displaystyle c$ 是 $\displaystyle (-1,1)$ 内任一点。证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant a+b$ ．

2．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(0)=f(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 2(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1(0<x<1)$ ．此估计式能否改进？
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有二阶连续导数，且满足 $\displaystyle f(0)=f(1)$ 及 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M, x \in[0,1]$ ．试证：对一切 $\displaystyle x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{M}{2}$ 。

3．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{8}{5},\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant \frac{8}{5}$ ．试给出 $\displaystyle |f(x)|$ 的一个估计， $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 1$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1, f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内取到最大值 $\displaystyle \frac{1}{4}$ ．证明：$\displaystyle |f(0)|+|f(1)| \leqslant 1$ ．

4．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有二阶连续导数，且 $\displaystyle M_{0}=\sup \{|f(x)| x \in(0,+\infty)\}$ 和 $\displaystyle M_{2}=\sup \left\{\left|f^{\prime \prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\}$ 均为有限数，证明：
（1）$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{2 M_{0}}{h}+\frac{h}{2} M_{2}$ 对任何 $\displaystyle h>0, x \in(0,+\infty)$ 均成立；
（2）$\displaystyle M_{1}=\sup \left\{\left|f^{\prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\}$ 也是有限数，并且满足不等式 $\displaystyle M_{1} \leqslant 2 \sqrt{M_{0} M_{2}}$ ；
（3）设 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内二阶可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，但 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 不存在。证明：存在 $\displaystyle x_{0}>0$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\right|>1$ 。

5．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次可微，$\displaystyle M_{0}=\sup _{-x<x<+x}|f(x)|<+\infty, M_{2}=\sup _{-x<x<+\infty}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<+\infty$ ．试证：$\displaystyle M_{1}=\sup _{-\infty<x<+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|<+\infty$ ，且 $\displaystyle M_{1}^{2} \leqslant 2 M_{0} M_{2}$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内三阶连续可导，对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),|f(x)| \leqslant M_{0},\left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leqslant M_{3}$ 。证明：$\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M_{0}+\frac{1}{6} M_{3},\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4 M_{0}+\frac{1}{3} M_{3}$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内 三次可导，并且对 $\displaystyle x \in(0,+\infty),|f(x)| \leqslant M_{0}<+\infty$ ， $\displaystyle \left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right| \leqslant M_{3}<+\infty$ 。证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 及 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界。北师大 2000）

6．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leq x \leq 1}\{f(x)\}=-1$ 。证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 8$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, \min _{0<x<1}\{f(x)\}=-\frac{1}{2}$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 4$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=3, \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 18$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, ~ \max _{0<x<1}\{f(x)\}=2$ ．证明： $\displaystyle \min _{x \in[0,1]} f^{\prime \prime}(x) \leqslant-16$ ．

7．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上三阶可导，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f^{m}(\xi) \geqslant 12$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三次可导，$\displaystyle f(-1)=f(0)=f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ 。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi) \geqslant 3$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三次连续可导，$\displaystyle f(-1)=0, f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ ．试证：$\displaystyle \exists \xi \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上二次可导，$\displaystyle f(-1)=0, f(0)=0, f(1)=1$ 。证明：$\displaystyle \exists \theta \in(-1,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\theta)=1$ 。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 二次可导，$\displaystyle f(0)=0$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最大值 2 ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内取得最小值 $\displaystyle m$ ，证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>2$ ；（2）存在 $\displaystyle \eta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\eta)<-4$ ．

8．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \frac{1}{8}(b-a)^{2} \max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 4, f(a)=f(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2}$ ．

9．设 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \left|g^{\prime \prime}(x)\right| \geqslant m>0$（ $\displaystyle m$ 为常数），又 $\displaystyle g(a)=g(b)=0$ ．证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}|g(x)| \geqslant \frac{m}{8}(b-a)^{2}$ ．

10．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且有有限导数，$\displaystyle f(x)$ 是非线性函数．证明：在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle c$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime}(c)\right|>\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数．试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)$ 且不恒为常数．证明：存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \zeta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)>0, f^{\prime}(\eta)<0$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数，$\displaystyle f(a)=f(b)$ ．试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>0$ 。
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(x)$ 是非线性函数，$\displaystyle f(a)<f(b)$ ．试证：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f^{\prime}(\eta)$ 。
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 不是常数或线性函数．
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle c=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ．试证：函数 $\displaystyle f(x)$ 具备下述性质中的一个：
（1）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>c$ ；
（2）对 $\displaystyle \forall x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle f(x)-f(a)=c(x-a)$ ．

11．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|$ ．（桂林电子科技 2012，山东大学 2007，中南大学 2006，苏州大学 2006，

广西民大 2008，江苏大学 2009，地质大学 2004，聊城大学 2008，中科院 2006，太原科技 2006；南京大学 2012（［1，2］））
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，证明：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上三阶可导， 0 为 $\displaystyle f$ 的极值点．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(-a, a)-\{0\}$ 使

$$
\left|f^{\prime \prime \prime}(\xi)\right| \geqslant \frac{3}{a^{3}}|f(a)-f(-a)| . \text { }
$$

12．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内二次可导，$\displaystyle f(a)=f(b)$ ，且存在一点 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>f(a)$ ．试证明：存在两点 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)<0, f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)<0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。若存在一点 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>0$ ，证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内二次可导，且存在一点 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>\max \{f(a), f(b)\}$ ．试证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．

13．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b), f_{+}^{\prime}(a)<0, f_{-}^{\prime}(b)<0$ ．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 可导，$\displaystyle f(a)=0, f_{+}^{\prime}(a)>0$ ．证明：（1）存在 $\displaystyle \delta>0$ 使得 $\displaystyle f(x)>0$ ， $\displaystyle x \in(a, a+\delta)$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi>a$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)>0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0, f_{+}^{\prime}(a)$ 存在且大于 0 ，求证在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 有二阶导数，满足 $\displaystyle f(2)>f(1), f(2)>\int_{2}^{3} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(1,3)$使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．

14．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0, a)$ 内取得最大值，在 $\displaystyle [0, a]$ 上具有二阶导数，且 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M$ 。试证：$\displaystyle \left|f^{\prime}(0)\right|+\left|f^{\prime}(a)\right| \leqslant M a$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内取得最大值，在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有二阶导数，$\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M$ 。试证：$\displaystyle \left|f^{\prime}(a)\right|+\left|f^{\prime}(b)\right| \leqslant M(b-a)$ ．
（3）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 1$ 。求证 $\displaystyle \left|f^{\prime}(0)-f^{\prime}(1)\right| \geqslant 1$ ．

15．证明下列命题．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限区域 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，但无界，则其导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内必无界．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限区域 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，并且 $\displaystyle f(x)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界．证明 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle (a, b)$ 内有界．
（3）构造一个在闭区间 $\displaystyle [-1,1]$ 处处可微的函数使得它的导数在 $\displaystyle [-1,1]$ 上无界．

16．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导数，且 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x^{2}} f^{\prime}(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界．证明 $\displaystyle x \mathrm{e}^{-x^{2}} f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 可导，且 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x} f^{\prime}(x)$ 在区间 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上有界．证明 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x} f(x)$ 在区间 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上有界。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=O(x), x \rightarrow+\infty$ 。试证：$\displaystyle f(x)=O\left(x^{2}\right), x \rightarrow+\infty$ 。中科大 2012）

17．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一阶可微，$\displaystyle f(0)=0$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内单调递减．证明：$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内单调递减．

18．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为奇函数，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t$ 。证明： （1）$\displaystyle F(x)$ 为奇函数，（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递减．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，并且是单调增加的奇函数，又设 $\displaystyle g(x)=\int_{0}^{x}(2 t-x) f(x-t) \mathrm{d} t$ ．试判断 $\displaystyle g(x)$ 的单调性和奇偶性并证明之．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为奇函数，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续单调递增，又设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-3 t) f(t) \mathrm{d} t$ ．证明： （1）$\displaystyle F(x)$ 为奇函数，（2）$\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递减．
（4）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ，则 $\displaystyle \varphi(x)=\frac{\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的严格单调递增．
（5）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续递增，$\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x \in(a, b], \text { 则 } F(x) \text { 为 }[a, b] \text { 上的 } \\ f(a), x=a,\end{array}\right.$单调增函数．

19．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，$\displaystyle f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 存在，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+2 f^{\prime}(x)+f(x)>0$ ．求证：$\displaystyle f(x) \leqslant 0, \forall x \in(0,1)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在实数集 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可导，满足：存在常数 $\displaystyle \mu>0$ 使 $\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{\mu}{|x|^{2005}}$ ， $\displaystyle x^{2004}\left|x f^{\prime}(x)+x f(x)+2005 f(x)\right| \leqslant 1$ ．求证：$\displaystyle \left|x^{2005} f(x)\right| \leqslant 1$ ．

20．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (-1,1)$ 上的无穷次可导函数，$\displaystyle f(0)=1,\left|f^{\prime}(0)\right| \leqslant 2$ ．令 $\displaystyle g(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ ， $\displaystyle \left|g^{(n)}(0)\right| \leqslant 2 n!$ ．证明：对所有正整数 $\displaystyle n,\left|f^{(n)}(0)\right| \leqslant(n+1)!$ ．

21．设 $\displaystyle a>0$ 为常数，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-2 a, 2 a]$ 上有二阶导数，$\displaystyle f(0)=a, f(a)=b, f^{\prime}(0)=-1$ ．对 $\displaystyle \forall x \in[-2 a, 2 a]$ 且满足 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right|<\frac{1}{4 a}$ ．求证：（1）$\displaystyle \left|1+f^{\prime}(x)\right|<\frac{1}{2}, \forall x \in[-2 a, 2 a]$ ；（2）$\displaystyle |f(a+b)|<\frac{a}{4}$ ．

22．证明下列命题．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，$\displaystyle f(0)=0, \forall x \in[0,+\infty)$ 有 $\displaystyle 0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant f(x)$ ．证明 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，且对一切 $\displaystyle x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u \geqslant f(x) \geqslant 0$ ．证明 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，$\displaystyle f(x) \leqslant \int_{a}^{x} f(u) \mathrm{d} u, x \in \mathbf{R}$ 。证明 $\displaystyle f(x) \leqslant 0$ 。（广西师大 2005，河南师大

2012（［a，b］））
（4）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=0, f(x)>0, x \in(a, b]$ ．证明：不存在常数 $\displaystyle M \geqslant 0$ 使 $\displaystyle 0 \leqslant f^{\prime}(x) \leqslant M f(x), x \in[a, b]$ ．

23．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非负连续，$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，$\displaystyle f(x) \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0, x \in(a, b)$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in(a, b)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，又 $\displaystyle \varphi(x)=f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 单调递减．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in \mathbf{R}$ ．

24．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足条件 $\displaystyle f(0)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{1}{2}|f(x)|$ ．证明：在 $\displaystyle [0,1]$上，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．若存在 $\displaystyle M>0$ 使 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M|f(x)|, \forall x \in[a, b]$ ．证明：$\displaystyle f(x)=0, \forall x \in[a, b]$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，并有实数 $\displaystyle A>0$ 使得 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant A|f(x)|$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上成立．试证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle |f(x)| \leqslant k \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, k>0, x \in[0,+\infty)$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 可导，且 $\displaystyle f(0)=0,\left|f^{\prime}(x)-1\right| \leqslant|f(x)|-x, \forall x \in[0,1]$ ．证明：方程 $\displaystyle f(x)=x$ 有无穷多解．

25．设定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的非负连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，满足 $\displaystyle f(x) \leqslant \int_{0}^{x}(f(t))^{a} \mathrm{~d} t$ ，（ $\displaystyle a$ 为常数）．证明：（1）当 $\displaystyle a \geqslant 1$ 时，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ；（2）举例说明，当 $\displaystyle 0<a<1$ 时，$\displaystyle f(x)$ 不一定恒为 0 ．

26．证明下列结论．
（1）假定在某个区间 $\displaystyle I$ 上，函数 $\displaystyle f(x)$ 满足条件：存在常数 $\displaystyle l>0$ 和 $\displaystyle \alpha>0$ 使得

$$
|f(x)-f(y)| \leqslant l|x-y|^{\alpha},(\forall x, y \in I)
$$

27．证明下列命题。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x) g(x)-f(x)=0$ ，其中 $\displaystyle g(x)$ 为任一函数。证明：若 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{1}\right)=0\left(x_{0}<x_{1}\right)$ ，则在 $\displaystyle \left[x_{0}, x_{1}\right]: f(x) \equiv 0$ 。中山大学 2012，扬州大学 2011，上海理工 2004）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 内有二阶导数，$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|^{2} \leqslant\left|f(x) \cdot f^{\prime}(x)\right|$ ．证明存在 $\displaystyle \delta>0$ 使得在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 内 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（3）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内有二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant|f(x)|+\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．试证：$\displaystyle \exists \delta>0$ 使得在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 内，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．